15 سؤالاً شائعاً من أسئلة الرياضيات في امتحان SAT للجامعات الأمريكية يخطئ الكثيرون في حلها

لا يختبر امتحان SAT مدى قوتك في الرياضيات والقراءة والكتابة فحسب، إنما يختبر أيضًا كيفية تعاملك مع امتحان SAT بحدّ ذاته.

يتطلب التحضير لقسم الرياضيات الكثير من التدريب وتذكر بعض المعادلات، لكن من الجيد معرفة كيف تميّز الأسئلة الخادعة، والتدقيق في التفاصيل غير الضرورية، وتذكر الخدع البسيطة مثل قراءة السؤال بأكمله قبل البدء بالحل.

هنا تجد خمس عشرة مسألة من امتحان SAT يحلها الناس بشكل خاطئ عادةً، مع شرح دقيق لكيفية حلها:

1. يخطئ العديد من الناس بهذا السؤال في حساب السعر الأصلي للحاسب المحمول

نص السؤال: اشترت ألما حاسوبًا محمولًا من متجر يمنح تنزيلات بقيمة 20% من قيمة السعر الأصلي. وكان السعر الكلي الذي دفعته للمحاسب هو p دولارًا، تتضمن 8% ضريبة مبيعات على السعر بعد التخفيض. أي من هذه الخيارات هو السعر الأصلي للحاسوب المحمول والذي يمثل قيمة p؟

عندما يقرأ الناس هذا السؤال على عجلة، يعتقدون بأن السؤال عن كلفة الحاسوب المحمول مع التخفيض إضافة إلى الضريبة ويختارون الخيار C، ولكن انظر بحذر، إنه يسأل عن السعر الأصلي للحاسوب.

تدفع ألما 8% ضريبة مبيعات، والتي يمكن التعبير عنها بأنها 108% من السعر. وهناك أيضًا 20% تخفيض، ما يعني بأنها تدفع 80% من السعر، أو 0.8. لذلك إذا كانت p هي المقدار الذي دفعته ألما للمحاسب وx هو السعر الأصلي للحاسوب، وبالتالي نص المعادلة كما يلي:

P=(1.08)(0.8)(x)

الآن لنجد x من خلال تقسيم الطرفين على (1.08)(0.8):

p/(1.08)(0.8) = x

إذن فالإجابة الصحيحة هي D

2. يتطلب منك هذا السؤال كتابة جميع الخطوات، رغم أن الحسابات فيه غير معقدة

نص السؤال: في المعادلتين السابقتين، تعبر b و c عن سعر الرطل بالدولار، للحم البقري والدجاج، على التوالي، x هي الأسابيع بعد 1 يوليو خلال الصيف الماضي. فماذا كان السعر رطل اللحم البقري عندما كان مساويًا لسعر رطل للدجاج؟

تحاول الآن التفكير بسعر رطل اللحم البقري (b) عندما كان مساويًا لسعر رطل الدجاج (c). بمعنى آخر، عندما b=c، أو بمعنى آخر عندما 2.35 + 0.25x تساوي 1.75 + 0.40x. لذلك أنت بحاجة إلى إيجاد قيمة x لكي نعوضها في المعادلة (b). تكتب Dora Seigel من موقع PrepScholar.

بطرح 1.75 من كل طرف نجد:

2.35(−1.75) + 0.40x + 1.75(−1.75) = 0.25x

ما يترك المعادلة التالية 0.25x + 0.6 =  0.40x. وبطرح 0.25x من الطرفين نجد:

0.6 + 0.25(-0.25) = 0.40x(−0.25x)
0.60 = 0.15x

والخطوة الأخيرة لاختزال المعادلة لتصبح:

0.60/0.15 = x
4 = x

والآن وبما أنك تعرف قيمة x، إذا يمكنك تعويضها في المعادلة لمعرفة سعر اللحم البقري:

b = 2.35 + 0.25x
b = 2.35 + 0.25(4)
b = 2.35 + 1
b = 3.35

والإجابة الصحيحة هي D

3. هنا، يحل الناس غالبًا الجزء الخاطئ من المعادلة، وهو خطأ شائع

نص السؤال: في المثلث ABC، قياس الزاوية B هو 90 درجة. طول الضلع BC=16، وac=20. المثلث DEF مطابقًا للمثلث ABC، إذ أن الرؤوس D و E و F مقابلة للرؤوس A و B و C، على التوالي، وكل ضلع من المثلث DEF بطول 1/3 من طول الضلع المقابل له في المثلث ABC، فما هي قيمة sin F؟

يعتبر هذا السؤال مخادعًا لأنه يعطيك الكثير من الأرقام والأحرف وليس واضحًا ماذا يتوجب عليك أن تفعله بها. فمن المهم معرفة ما يطرحه السؤال قبل البدء بإجراء حسابات لا ضرورة لها والتي لن تجعلك قريبًا من الجواب. يقترح موقع PrepScholar قراءة كامل السؤال، وخلال ذلك ضع دائرة حول المعلومات الهامة، وحدد السؤال الذي يتم طرحه قبل أن تشرع بالحل.

في هذه الحالة، فأنت تبحث عن قيمة Sin F. أبدأ بما تعرفه:

فالمثلث ABC هو المثلث المدروس، والزاوية B هي الزاوية الصحيحة. ما يعني أن الضلع AC هو الوتر والضلع BC هو أحد الضلعين المجاورين له.

هنا يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس لمعرفة طول الضلع الأخير المتبقي:

A² + B² = C²
A² + 162 = 202
A² = 202 – 162
A = √400)−(256)
A = √144 = 12

تقول المسألة أن المثلث DEF مطابقٌ للمثلث ABC. ما يعني أن C و F رؤوسًا متقابلة وبالتالي:

sinF = sinC.
يمكننا حساب جيب الزاوية من القانون: الوتر/المقابلة = Sin

Sin F = sin C =12/20 = 3/5 = 0.6

فالإجابة الصحيحة هي 3/5 أو 0.6

4. يسهل الوقوع في الخطأ عند حلّ هذا السؤال عن القيم المطلقة إذا فاتك أي تفصيل صغير

نص السؤال: إذا كان 7>|x-3|> ،مع العلم أن x>0،فما هي القيمة المحتملة لـــ |x|؟

تقول Caroline C من موقع Chegg بأن هناك بضع الإجابات الصحيحة المحتملة هنا، ولكن اخطو بحذر، إذ يطرح السؤال عن القيمة المطلقة لـــ x، وليس عن القيمة الحقيقة له.

تريد القيمة المطلقة لقيمة x-3 لتكون بين الرقمين 6 و7، لذلك فإن عدة قيم صحيحة لـ x قد تكون حلاً مناسباً، وهي: -3 و1 أو -3 و2 وهكذا… ولكن الإجابة التي عليك كتابتها هي القيم المطلقة لتلك الأرقام: 3.1، 3.2 …الخ، لأن ذلك هو مضمون السؤال.

5. صنّف موقع PrepScholar الذي يحضر لامتحان SAT هذا السؤال كأحد أصعب مسائل الرياضيات الواردة في امتحان SAT في العام 2016

نص السؤال: إذا كان 3x – y = 12، فما هي قيمة 8⁄2y؟

2²

4⁴

8²

لا يمكن تحديد القيمة من المعلومات المعطاة

فبحسب موقع PrepScholar، كلا الرقمين 8 و 2 من قِوى العدد 2، لذلك يمكنك تبسيط المسألة قبل أن تُشرع بحلها:

8^x/2^y = (2³)^x/2^y = 2³x/2^y

وبسبب تطابق البسط والمقام في الكسر، يمكنك الآن إعادة كتابة المعادلة كما يلي 2^(3x-y)،كم هذا مريح! ومن نص المسألة: 3x – y = 12. بالتالي:

2^(3x-y) = 2⁽¹²⁾

فالإجابة الصحيحة هي A

6. أحيانًا، شكل السؤال هو الذي يُصعّب عليك الحل

نص السؤال: يصف الجدول أعلاه عدد الطلاب الذين يستخدمون يدهم اليسرى بالكتابة left-handed والطلاب الذين يستخدمون يدهم اليمنى right-handed لطلاب الصف الثامن في المدرسة المتوسطة. عدد الطالبات (الإناث) اللوات يستخدمن يدهم اليمنى أكبر بخمس مرات من عدد الطالبات اللات يستخدمن يدهم اليسرى.، وعدد الطلاب (الذكور) الذين يستخدمون يدهم اليمنى أكبر بتسعة مرات من عدد الطلاب الذين يستخدمون يدهم اليسرى. فإذا كان العدد الكلي للطلاب الذين يستخدمون يدهم اليسرى هو 18 طالب (ذكور وإناث) و122 طالبًا يستخدمون يدهم اليمنى (أيضاً ذكور وإناث)، فما هو احتمال اختيار طالبة (أنثى) عشوائيًا تستخدم يدها اليمنى؟ (ملاحظة: افترض أن أيًا من طلاب الصف الثامن يستخدم يده اليمنى ويده اليسرى):

A) 0.410

B) 0.357

C) 0.333

D) 0.250

يمكن للمخطط الكبير أن يخيف الطالب إذ يعتقد بأنه سيستغرق وقتًا طويلًا وسيعود إليه لاحقًا إذا بقي لديه وقت كافٍ. لكن موقع PrepScholar يقول أنه مجرد سؤال يشبه أي سؤال رياضي آخر.

إذا كانت (x= عدد الإناث) ممن يستخدمن اليد اليسرى، و(y= عدد الذكور) الذين يستخدمون اليد اليسرى، وبالتالي تكون المعادلة التالية صحيحة:

x + y = 18
5x + 9y = 122

وبحل هذه المعادلة نجد:

x + y = 18

x = 18 – y

5 (18 – y) + 9y = 122

90y – 5y + 9y = 122

90y + 4y = 122

4y = 32

y = 8

وبالتالي إذا كانت y = 8 إذا سيكون x = 10

وإن عدد الطالبات الإناث اللات يستخدمن اليد اليمنى أكبر بخمس أضعاف من عدد الطالبات الإناث اللات يستخدمن اليد اليسرى: إذا 5x = 5(10) = 50. واحتمال اختيار عشوائي لطالبة تستخدم يدها اليمنى هو: 50/122 أو 0.410، فالإجابة الصحيحة هي A.

7. غالبًا ما يرتبك الطلاب عندما يشاهدون صوراً أو رسومات

نص السؤال: صومعة حبوب مبنية من مخروطين دائريين متطابقين وأسطوانة دائرية ذات قياسات داخلية متمثّلة في الشكل أعلاه، ما هو الجواب الأقرب من بين الخيارات التالية والممثل لحجم هذه الصومعة، بواحدة القدم المكعب؟

A) 261.8

B) 785.4

C) 916.3

D) 1047.2

إن صومعة الحبوب المبينة في الصورة ما هي إلا أسطوانة ومخروطين، ووفقاً لموقع PrepScholar، للاسطوانة والمخروط معادلات معروفة لحساب أحجامهما:

فحجم المخروط:

1/3 πr²h

حجم الأسطوانة:

πr²h

وبالتالي حجم الصومعة يساوي: πr²h + 2(1/3 πr²h)

فقط نعوض بنصف القطر والارتفاع بعد أخذه من الصورة

π(5²)(10) + (2)(1/3) π(5²)(5) = (4/3)(250)π = 1047.2

وبالتالي الإجابة هي D

8. تخيف التوابع التربيعية العديد ممن يقدمون امتحان SAT

نص السؤال: أي من المعادلات التالية يمكن أن يعبر عن المخطط أعلاه؟

للمبتدئين، يمكنك القول بالنظر إلى المخطط أن المخطط يتقاطع مع المحور y عند 2، والذي يلغي الخيار C حيث التقطاع مع y فيها هو -2.

إن القمة في المخطط عند x = 0، ما يعني بأن الثابت b في المعادلة التربيعية ax² + bx + c يجب أن يكون صفر. وإلا، سيكون المخطط منزاحًا إلى اليمين أو اليسار. وبالتالي، يمكنك إبعاد الخيارين B و D باستخدام طريقة إبعاد الخيارات الخاطئة.

وبالتالي الإجابة الصحيحة هي A

9. ينسى بعض الناس حفظ المعادلات التي لا تُكتب في الامتحان

نص السؤال: في مثلث قائم، قياس أحد الزوايا هو X⁰، حيث Sin X = 4/5 فما هو Cos(90⁰ – x⁰)؟

يشرح موقع PrepScholar أنه من المستحيل أن تحل هذا السؤال إذا لم تكن تعرف معادلات كل من Sin و Cos زاوية ما. ويضيف الموقع: ”فإذا عرفت العلاقة الزاوية بين Sin وCos، وهي Sin(x°)=Cos(90°−x°)، فعندها ستعرف فورًا أن الإجابة الصحيحة هي cos(90°−x°)= 4/5.

ولا يزال يمكنك حل المسألة عن طريق رسم مخطط للمثلث المدروس، ولكن السرعة هي السر في قسم أسئلة الرياضيات في امتحانSAT، إذ يجب أن تخصص دقيقة إضافية لكل سؤال.

10. مسائل بنسب مئوية يمكنها أن تكون خادعة

نص السؤال: لدينا كتل بناء عددها b والتي يجب أن تكون مكدسة مع بعضها. وتم تجميع عدد k من هذه الكتل، باستخدام الاصطلاحين b وk، ما هي النسبة المئوية من عدد الكتل التي لم يتم تكديسها؟

بما أن هذا السؤال يعتبر من الأسئلة الخاصة بالنسب المئوية، يوصي موقع Get800 المختص بالتحضير لامتحان SAT باستبدال كل من المجهولين b وk بأرقام وتنفيذ العمليات الرياضية للحصول على الجواب المنطقي.

دعنا نفترض أن b=100 و k=25. فإذا كان هناك 100 كتلة وتم تجميع 25 منهم، هذا يعني بأن 75 كتلة لم يتم تجميعها بعد، أو 75% من الكتل لم يتم تجيمعها.

أي من الخيارات يعطيك 75% عند تعويض المجهولين b و k بالأرقام الواردة في المثال السابق؟

A: 100/7500 = 0.0133%

B: 7500/100 = 75%

C: 10,000/25 = 400%

D: 2500/100 = 25%

فالإجابة هي الخيار B

11. إذا تضمن السؤال دائرة، فمفتاح الإجابة هو المعرفة الجيدة بالزوايا

نص السؤال: في الشكل أعلاه، المثلث ABC محدد بالدائرة التي مركزها O ونصف قطرها AC، فإذا كان AB = AO، ما هو قياس الزاوية ABO؟

A) 15

B) 30

C) 45

D) 60

E) 90

إذا عرفت طول نصف قطر الدائرة، عندها ستعرف جميع أطوال المثلث. هنا، يقول نص المسألة أن كلاً من ضلعي المثلث AB و AO متساويان. AO هو نصف قطر الدائرة، وأيضًا BO. إذ أن أنصاف أقطار الدائرة متساوية دومًا، بالتالي AO و BO لهما نفس الطول. ما يعني بأن المثلث ABO هو مثلث متساوي الأضلاع، وبالتالي جميع زواياه متساوية القياس أي كل زاوية قياسها 60 درجة.

فالإجابة الصحيحة هي D

12. لا تدع الرسوم تجعلك تُخفق، فهذا السؤال يخص الدوائر، وليس المنحنيات

نص السؤال: لدينا نصفي الدائرة في الشكل أعلاه مركزهما R و S على التتالي. فإذا كان RS = 12، فما هو الطول الكلي للمنحني الظاهر؟

A) 8

B) 9

C) 12

D) 15

E) 16

يقول موقع Prepscholar أن السرعة هي مفتاح النجاح في امتحان SAT، والطريقة الأسرع لحل هذه المسألة هي عن طريق اعتبار أن RS هي نصف قطر دائرة كاملة. يمكنك القيام بذلك لأنه يبين الشكل نصفي قطرين ونصفي دائرتين، اجمعهما معًا وستحصل على دائرة واحدة.

محيط الدائرة = πd، وبالتالي الإجابة الصحيحة هي C

13. في امتحان SAT يمكنك حل بعض الأسئلة نظرياً عن طريق التعويض بأرقام حقيقية

نص السؤال: إذا كان a عددًا صحيحًا فرديًأ و b عددًا صحيحًا زوجيًا، فأي من الخيارات التالية هو عدد فردي؟

A) 3b

B) a + 3

C) 2(a + b)

D) a + 2b

E) 2a + b

يوصي موقع PrepScholar بتعويض أرقام حقيقية بالخيارات المعطاة لمعرفة أي الإجابات صحيحة. دعنا نفرض أن a=3 وb=2. فأي من الخيارات يعطينا نتيجة برقم فردي؟

A: 3 x 2 = 6

B: 3 + 3 = 6

C: 2(2+3) = 10

D: 3 + 2(2) = 7

E: 2(3) + 2 = 8

فالإجابة الصحيحة هي D

14. بالنسبة للمعادلات الرياضية بمتغير واحد، اعزل المتغير وتأكد من معرفة ما يطلبه السؤال

نص السؤال: إذا كان لدينا 10 + x تساوي 5 إضافة إلى 10 ، فما هي قيمة 2x؟

A) -5

B) 5

C) 10

D) 25

E) 50

تم تمويه هذه المعادلة عن طريق التلاعب بالوصف أو الكلمات. فكلمة 5 بالإضافة إلى 10 تعني 15. وكطريقة أسهل لكتابة المعادلة بإمكاننا القول أن: x+10=15. وبطرح 10 من كلا الطرفين تصبح المعادلة x=5. لا تنسى الخطوة الأخيرة، فالسؤال لا يطلب قيمة x، وإنما يطلب قيمة 2x، فالإجابة الصحيحة هي C.

15. لا تحتاج إلى عدة متغيرات لحل هذا السؤال الخاص بالسندويتشات. حافظ على كل شيء بمصطلحاته للحصول على أكبر قدر من الفعالية خلال الحل

نص السؤال: أعدّ كلّ من (علي) و(بين) و(كارلا) 20 سندويشة. حيث أعدّ (بين) سندويشات أكثر مما أعده (علي) بثلاث مرات، وأعدت (كارلا) سندويشات أكثر من (بين) بمرتين. فما عدد السندويشات التي أعدها (علي)؟

A) 2

B) 4

C) 5

D) 6

E) 10

ينصح موقع PrepScholar، بإعداد معادلة بمجهول a والذي يمثل عدد السندويشات التي أعدها (علي)، إذ أعد (بين) سندويشات أكثر من (علي) بثلاثة مرات، وأعدت (كارلا) ضعف ما أعده (بين).

ضع عدد السندويشات التي أعدتها (كارلا) نسبةً إلى عدد السندويشات التي أعدها (علي)، وبالتالي يمكنك الجمع بينها. حيث أعدت (كارلا) ضعف ما أعده (بين): وبالتالي 2(3a) = 6a. بالتالي نحصل على المعادلات التالية:

a + 3a + 6a = 20

10a = 20

a = 2

بتعويض a = 2 في أول معادلة للتأكد أن الحل صحيح

2 + (3×2) + (6×2) = 20

2 + 6 + 12 = 20

الإجابة الصحيحة هي A